Question

如图，在半径为r的半圆⊙O中，半径OA⊥直径BC，点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求证：S_{四边形AEOF}=

1

2

r²；
（2）设AE=x，S_△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围；
（3）当S_△OEF=

5

18

S_△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长．

Answer 1

分析：（1）先证△AOE≌△COF，可知四边形AEOF的面积=△AOC的面积=

1

2

r²；
（2）利用S_△OEF=S_{四边形AEOF}-S_△AEF，可求得y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）；
（3）当S_△OEF=

5

18

S_△ABC时，y=

5

18

r²，即

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²，解得x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，根据直角三角形边长之间的关系可知EF=

10

3

r．

解答：（1）证明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四边形AEOF的面积=△AOC的面积=

1

2

r²．

（2）解：∵S_△OEF=S_{四边形AEOF}-S_△AEF=

1

2

r²-

1

2

（

2

r-x）•x=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²，
∴y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）

（3）解：当S_△OEF=

5

18

S_△ABC时，y=

5

18

r²
∴

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²
∴x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，
∴

AE

AB

=

1

3

，

AF

AC

=

2

3

或

AE

AB

=

2

3

，

AF

AC

=

1

3

即AE=

1

3

AB，AF=

2

3

AC或AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC．
∴EF=

10

3

r．

点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有三角形全等的证明，用含x的式子表示线段的长度并根据几何图形的性质表示出面积之间的关系以及直角三角形和一元二次方程的实际运用等．要熟练掌握才能灵活运用．