Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，且EG∥AB交BC于点G．
求证：CF=BG．

Answer 1

证明：过E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，∠B=∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠7=90°，∠2+∠3=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠7，
∴CE=CF，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中
，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE=EM，
∵CE=CF，EM=BG，
∴CF=BG．
分析：过E作EM∥BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，求出∠4=∠7，得出CE=CF，证△CAE≌△MAE，推出CE=EM，即可得出答案．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．