题目内容

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD的边AD与x轴的正半轴重合，另三边都在第四象限内，已知点A（1，0），AB=2，AD=3，点E为OD的中点，以AD为直径作⊙M，经过A、D两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
（1）求经过C、E两点的直线的解析式；
（2）如果点P同时在⊙M和矩形ABCD内部，求a的取值范围；
（3）过点B作⊙M的切线交边CD于F点，当PF∥AD时，判断直线CE与y轴的交点是否在抛物线上，并说明理由．

解：
（1）由题意得E（2，0），C（4，-2）
故易得直线CE的解析式为y=-x+2

（2）A（1，0），D（4，0）代入抛物线
解析式得y=ax²-5ax+4a
定点（ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$
得0＜a＜ $\text{[math]}$

（3）设DF=d，则3²+（2-d）²=（2+d）²∴d= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ 知a= $\text{[math]}$ ，∴y= $\text{[math]}$ x²+（- $\text{[math]}$ ）x+2，把（0，2）代入可知CE与y轴的交点在抛物线上．
分析：（1）利用待定系数法易得直线CE的解析式为y=-x+2；
（2）A（1，0），D（4，0）代入解析式得y=ax²-5ax+4a，可知定点（ $\text{[math]}$ ），根据点P同时在⊙M和矩形ABCD内部可列不等式 $\text{[math]}$ ，解得0＜a＜ $\text{[math]}$ ；
（3）设DF=d，则3²+（2-d）²=（2+d）²，得d= $\text{[math]}$ ，根据 $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ ，可知a= $\text{[math]}$ ，所以y= $\text{[math]}$ x²+（- $\text{[math]}$ ）x+2，把（0，2）代入可知CE与y轴的交点在抛物线上．
点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和圆的有关性质，函数图象上点的意义等．要熟练掌握才能灵活运用．