题目内容

如图,抛物线经过△ABC的三个顶点,点A坐标为(0,3),点B坐标为(2,3),点C在x轴的正半轴上.
(1)求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标;
(2)点E为线段OC上一动点,以OE为边在第一象限内作正方形OEFG,当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时,求线段OE的长;
(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动.设平移的距离为t,正方形DEFG的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)在上述平移过程中,当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围;并求出当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(1)。C(6,0)。
(2)OE=2。
(3)存在满足条件的t.理由见解析
(4)当t=时,S取得最大值,最大值为1。

试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,令y=0解方程,求出点C的坐标。
(2)如答图1,由△CEF∽△COA,根据比例式列方程求出OE的长度。
(3)如答图2,若△DMN是等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论。
(4)当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,如答图3,由S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣SFJK求出S关于t的表达式,然后由二次函数的性质求出其最值。
解:(1)∵抛物线经过点A(0,3),B(2,3),
,解得:
∴抛物线的解析式为:
令y=0,即,解得x=6或x=﹣4。
∵点C位于x轴正半轴上,∴C(6,0)。
(2)当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时,如答图所示:

设OE=x,则EF=x,CE=OC﹣OE=6﹣x.
∵EF∥OA,∴△CEF∽△COA。
,即
解得x=2.∴OE=2。
(3)存在满足条件的t.理由如下:
如答图,

易证△CEM∽△COA,
,即,得
过点M作MH⊥DN于点H,
则DH=ME=,MH=DE=2。
易证△MNH∽△COA,∴,即,得NH=1。
∴DN=DH+HN=
在Rt△MNH中,MH=2,NH=1,由勾股定理得:MN=
当△DMN是等腰三角形时:
①若DN=MN,则=,解得t=
②若DM=MN,则DM2=MN2,即22+(2=(2,解得t=2或t=6(不合题意,舍去)。
③若DM=DN,则DM2=DN2,即22+(2=(2,解得t=1。
综上所述,当t=1、2或时,△DMN是等腰三角形。
(4)当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,如答图,

设EF、DG分别与AC交于点M、N,
由(3)可知:ME=,DN=
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将点B(2,3)、C(6,0)代入得:
,解得
∴直线BC的解析式为
设直线BC与EF交于点K,
∵xK=t+2,∴

设直线BC与GF交于点J,
∵yJ=2,∴2= ,得
∴FJ=xF﹣xJ=t+2﹣=t﹣
∴S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣SFJK=DE2(ME+DN)•DE﹣FK•FJ
=22 [(2﹣t)+(3﹣t)]×2﹣t﹣1)(t﹣
过点G作GH⊥y轴于点H,交AC于点I,则HI=2,HJ=
∴t的取值范围是:2<t<
∴S与t的函数关系式为:S(2<t<)。
S
<0,且2<,∴当t=时,S取得最大值,最大值为1。
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