Question

如图，抛物线y=﹣（x﹣1）²+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；
（2）判断△CDB的形状并说明理由；
（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）²+c上，
∴0=﹣（﹣1﹣1）²+c，解得c=4。
∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）²+4。
令x=0，得y=3，∴C（0，3）；
令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。
（2）△CDB为直角三角形。理由如下：
由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）。
如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，

则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2。
过点C作CN⊥DM于点N，
则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：；
在Rt△CND中，由勾股定理得：；
在Rt△BMD中，由勾股定理得：。
∵BC²+CD²=BD²，∴根据勾股定理的逆定理，得△CDB为直角三角形。
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），∴，解得。
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。
∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，
∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t。
设直线BD的解析式为y=mx+m，
∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：。
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6。
连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）。
在△COB向右平移的过程中：
①当0＜t≤时，如答图2所示：

设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．
设QE与BD的交点为F，
则：，解得，∴F（3﹣t，2t）。
∴S=S_△QPE﹣S_△PBK﹣S_△FBE
=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•y_F
=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=。
②当＜t＜3时，如答图3所示，

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J，
∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t。
直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t。∴J（t，6﹣2t）。
∴S=S_△PBJ﹣S_△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）²=t²﹣3t+。
综上所述，S与t的函数关系式为：S=。

试题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标。
（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形。
（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
②当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形。