Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．

（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范围；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

（1）
（2）t＞﹣4
（3）t=﹣2

分析：（1）将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值。
（2）根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可。
（3）证明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值。
解：（1）将点A、点B的坐标代入可得：，解得：。
（2）抛物线的解析式为，直线y=t，
联立两解析式可得：x²+2x﹣3=t，即x²+2x﹣（3+t）=0，
∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，
∴△=4+4（3+t）＞0，解得：t＞﹣4。
（3）∵y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1。
当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）。
设点Q的坐标为（m，t），则P（﹣2﹣m，t）。
如图，设PQ与y轴交于点D，

则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2。
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，∴∠QCD=∠DPC。
又∠PDC=∠QDC=90°，∴△QCD∽△CDP。∴，即。
整理得：t²+6t+9=m²+2m。
∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m²+2m﹣3，即m²+2m=t+3。
∴t²+6t+9=t+3，化简得：t²+5t+6=0，解得t=﹣2或t=﹣3。
当t=﹣3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去。
∴t=﹣2。