Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O′的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD=

1

2

．
①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC²=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=

1

2

，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；
（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心漏解．

解答：（1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴

OC

OA

=

OB

OC

，
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=

1

2

，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
解得CO₁=4，CO₂=0（舍去），
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：

4a+2b+4=0 64a-8b+4=0

，
解得：

a=- 1 4 b=- 3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

4

x²-

3

2

x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴

O′F

AF

=

O′C

AD

，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=

10

3

，F（

16

3

，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则

m=4 16 3 k+m=0

，
解得：

k=- 3 4 m=4

，
∴直线DC的解析式为y=-

3

4

x+4，
由y=-

1

4

x²-

3

2

x+4=-

1

4

（x+3）²+

25

4

得顶点E的坐标为（-3，

25

4

），
将E（-3，

25

4

）代入直线DC的解析式y=-

3

4

x+4中，
右边=-

3

4

×（-3）+4=

25

4

=左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；

（3）存在，P₁（-10，-6），P₂（10，-36）．
①∵A（-8，0），C（0，4），
∴过A、C两点的直线解析式为y=

1

2

x+4，
设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=

1

2

x+b，把B（2，0）代入得b=-1，
∴直线PB的解析式为y=

1

2

x-1，
∴

y= 1 2 x-1 y=- 1 4 x2- 3 2 x+4

，
解得

x=-10 y=-6

，

x=2 y=0

（舍去），
∴P₁（-10，-6）．
②求P₂的方法应为过点A作与BC平行的直线，
可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，
与求P₁同法，可求出x₁=-8，y₁=0（舍去）；x₂=10，y₂=-36．
∴P₂的坐标（10，-36）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．