题目内容

【题目】在正方形ABCD中,

(1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且∠AOF=90°.求证:AE =BF.

(2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,求EF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】(1) 分析:(1)根据矩形的对边平行且相等得到AB=BC,∠DCB=∠ABE.再结合一对直角相等即可证明三角形全等;(2) 由折叠的性质得全等三角形的对应边相等以及勾股定理,可以求得DF,EF的长;再根据勾股定理求得DE的长,运用三角函数定义求解.

本题解析:

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,

∠ABE=∠BCF=90°,∵∠AOF=90°,∠AOB=90°,

∴∠BAE+∠OBA=90°,又∵∠FBC+∠OBA=90°,

∴∠BAE=∠CBF(同角的余角相等),在△ABE和△BCF中

∴△ABE≌△BCF(ASA).∴AE=BF.

(2) 作MG⊥AB于G,作FH⊥AD于H,如图所示:

则MG=AD,FH=AB,∴MG=FH,

在△AMG和△EFH中,

∴△AMG≌△EFH(AAS),∴AM=EF;∵DC=AD=5,CM=2,∴DM=5-2=3

在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=

∴EF=AM=.

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