Question

如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，F为AB的中点，DF与AC交于点G，EF与BC交于点H，则AG、BH、GH满足的等量关系为

GH²=AG²+BH²

．

Answer 1

分析：延长HF到M，使MF=HF，连接AM、GM，利用“边角边”证明△AMF和△BHF全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BH，∠MAF=∠B，然后求出∠CAM=90°再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得GH=GM，然后利用勾股定理列式即可．

解答：解：如图，延长HF到M，使MF=HF，连接AM、GM，
∵F为AB的中点，
∴AF=BF，
在△AMF和△BHF中，

AF=BF ∠AFM=∠BFH MF=HF

，
∴△AMF≌△BHF（SAS），
∴AM=BH，∠MAF=∠B，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAM=∠CAB+∠MAF=90°，
又∵∠DFE=90°，MF=HF，
∴GH=GM，
在Rt△AGM中，GM²=AG²+AM²，
∴GH²=AG²+BH²．
故答案为：GH²=AG²+BH²．

点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．