题目内容
【题目】图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：
（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，求∠ABX+∠ACX
②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4 ， 若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．
【答案】
（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：
连接AD并延长到M．
因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
（2）解：①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
由于∠BXC=90°，∠A=50°
所以∠ABX+∠ACX
=∠BXC﹣∠A
=90°﹣50°
=40°．
②在箭头图G1BDC中
因为∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，
又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°
∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4
∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°
∴∠DBG4+∠DCG4=17°．
∴∠ABG1+∠ACG1=17°
∵在箭头图G1BAC中
∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，
又∵∠BG1C=67°，
∴∠A=50°．
答：∠A的度数是50°．
【解析】第1小题，连接AD并延长到M，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；第2小题，由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，再根据已知条件可求解。
