题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且BE=4EC.

求n的值;

连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,AGF与CGD是否全等?请说明理由;

(3)直线y=m(m0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点 M关于y轴的对称点为点M',点H的坐标为(1,0).若四边形OM'NH的面积为.求点H到OM'的距离d的值.

【答案】(1);(2)n=﹣2②△AGF与CGD全等;(3)

【解析】

试题分析:(1)根据抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,可得抛物线的解析式;

(2)过点E作EE'x轴于E',则EE'OC,根据平行线分线段成比例定理,可得BE'=4OE',设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x,根据OB=2,可得x的值,再根据直线BC的解析式即可得到E的坐标,把E的坐标代入直线y=﹣x+n,可得n的值;

根据F(﹣2,0),A(﹣1,0),可得AF=1,再根据点D的坐标为(1,﹣3),点C的坐标为(0,﹣3),可得CDx轴,CD=1,再根据AFG=CDG,FAG=DCG,即可判定AGF≌△CGD;

(3)根据轴对称的性质得出OH=1=M'N,进而判定四边形OM'NH是平行四边形,再根据四边形OM'NH的面积,求得OP的长,再根据点M的坐标得到PM'的长,RtOPM'中,运用勾股定理可得OM'的值,最后根据OM'×d=,即可得到d的值

试题解析:(1)抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,,解得该抛物线的解析式

(2)如图,过点E作EE'x轴于E',则EE'OC,BE=4EC,BE'=4OE',设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x,B(2,0),OB=2,即x+4x=2,x=抛物线与y轴交于点C,C(0,﹣3),设直线BC的解析式为y=kx+b',B(2,0),C(0,﹣3),,解得直线BC的解析式为,当x=时,y=﹣E(,﹣),把E的坐标代入直线y=﹣x+n,可得﹣+n=﹣,解得n=﹣2;

②△AGF与CGD全等.理由如下:

直线EF的解析式为y=﹣x﹣2,当y=0时,x=﹣2,F(﹣2,0),OF=2,A(﹣1,0),OA=1,AF=2﹣1=1,由解得点D在第四象限,点D的坐标为(1,﹣3),点C的坐标为(0,﹣3),CDx轴,CD=1,∴∠AFG=CDG,FAG=DCG,∴△AGF≌△CGD;

(3)抛物线的对称轴为x= =,直线y=m(m0)与该抛物线的交点为M,N,点M、N关于直线x=对称,设N(t,m),则M(1﹣t,m), M关于y轴的对称点为点M',M'(t﹣1,m),点M'在直线y=m上,M'Nx轴,M'N=t﹣(t﹣1)=1,H(1,0),OH=1=M'N,四边形OM'NH是平行四边形,设直线y=m与y轴交于点P,四边形OM'NH的面积为OH×OP=1×m=,即m=OP=,当=时,解得x1=﹣,x2=点M的坐标为(﹣),M'(),即PM'=RtOPM'中,OM'==四边形OM'NH的面积为OM'×d=d=

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