题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且BE=4EC.
①求n的值;
②连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,△AGF与△CGD是否全等?请说明理由;
(3)直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点 M关于y轴的对称点为点M',点H的坐标为(1,0).若四边形OM'NH的面积为.求点H到OM'的距离d的值.
【答案】(1);(2)①n=﹣2;②△AGF与△CGD全等;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,可得抛物线的解析式;
(2)①过点E作EE'⊥x轴于E',则EE'∥OC,根据平行线分线段成比例定理,可得BE'=4OE',设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x,根据OB=2,可得x的值,再根据直线BC的解析式即可得到E的坐标,把E的坐标代入直线y=﹣x+n,可得n的值;
②根据F(﹣2,0),A(﹣1,0),可得AF=1,再根据点D的坐标为(1,﹣3),点C的坐标为(0,﹣3),可得CD∥x轴,CD=1,再根据∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,即可判定△AGF≌△CGD;
(3)根据轴对称的性质得出OH=1=M'N,进而判定四边形OM'NH是平行四边形,再根据四边形OM'NH的面积,求得OP的长,再根据点M的坐标得到PM'的长,Rt△OPM'中,运用勾股定理可得OM'的值,最后根据OM'×d=,即可得到d的值.
试题解析:(1)∵抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,∴,解得:,∴该抛物线的解析式;
(2)①如图,过点E作EE'⊥x轴于E',则EE'∥OC,∴,∵BE=4EC,∴BE'=4OE',设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x,∵B(2,0),∴OB=2,即x+4x=2,∴x=,∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,﹣3),设直线BC的解析式为y=kx+b',∵B(2,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴直线BC的解析式为,当x=时,y=﹣,∴E(,﹣),把E的坐标代入直线y=﹣x+n,可得﹣+n=﹣,解得n=﹣2;
②△AGF与△CGD全等.理由如下:
∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2,∴当y=0时,x=﹣2,∴F(﹣2,0),OF=2,∵A(﹣1,0),∴OA=1,∴AF=2﹣1=1,由,解得:或,∵点D在第四象限,∴点D的坐标为(1,﹣3),∵点C的坐标为(0,﹣3),∴CD∥x轴,CD=1,∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,∴△AGF≌△CGD;
(3)∵抛物线的对称轴为x= =,直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N,∴点M、N关于直线x=对称,设N(t,m),则M(1﹣t,m),∵点 M关于y轴的对称点为点M',∴M'(t﹣1,m),∴点M'在直线y=m上,∴M'N∥x轴,∴M'N=t﹣(t﹣1)=1,∵H(1,0),∴OH=1=M'N,∴四边形OM'NH是平行四边形,设直线y=m与y轴交于点P,∵四边形OM'NH的面积为,∴OH×OP=1×m=,即m=,∴OP=,当=时,解得x1=﹣,x2=,∴点M的坐标为(﹣,),∴M'(,),即PM'=,∴Rt△OPM'中,OM'==,∵四边形OM'NH的面积为,∴OM'×d=,∴d=.