题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12,P是AB上一点,将△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是G,过点B作BE⊥CG,垂足为E,且在AD上,BE交PC于点F,则下列结论,其中正确的结论有( )
①BP=BF;②若点E是AD的中点,那么△AEB≌△DEC;③当AD=25,且AE<DE时,则DE=16;④在③的条件下,可得sin∠PCB=;⑤当BP=9时,BEEF=108.
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【解析】
①根据折叠的性质∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF=∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF.
①在矩形ABCD,∠ABC=90°,
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC,
∴∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,
∵BE⊥CG,
∴BE∥PG,
∴∠GPF=∠PFB,
∴∠BPF=∠BFP,
∴BP=BF;
故①正确;
②在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=DC,
∵E是AD中点,
∴AE=DE,
在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(SAS);
故②正确;
③当AD=25时,
∵∠BEC=90°,
∴∠AEB+∠CED=90°,
∵∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠CED=∠ABE,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEC,
∴,
设AE=x,
∴DE=25﹣x,
∴,
∴x=9或x=16,
∵AE<DE,
∴AE=9,DE=16;
故③正确;
④由③知:CE=,BE=
,
由折叠得,BP=PG,
∴BP=BF=PG,
∵BE∥PG,
∴△ECF∽△GCP,
∴,
设BP=BF=PG=y,
∴,
∴y=,
∴BP=,
在Rt△PBC中,PC=,
∴sin∠PCB=;
故④不正确;
⑤如图,连接FG,
由①知BF∥PG,
∵BF=PG=PB,
∴BPGF是菱形,
∴BP∥GF,FG=PB=9,
∴∠GFE=∠ABE,
∴△GEF∽△EAB,
∴,
∴BEEF=ABGF=12×9=108;
故⑤正确,
所以本题正确的有①②③⑤,4个,
故选:C.
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