题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB12PAB上一点,将PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是G,过点BBECG,垂足为E,且在AD上,BEPC于点F,则下列结论,其中正确的结论有(  )

BPBF;②若点EAD的中点,那么AEB≌△DEC;③当AD25,且AEDE时,则DE16;④在③的条件下,可得sinPCB;⑤当BP9时,BEEF108

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

①根据折叠的性质PGCPBC90°BPCGPC,从而证明BECG可得BEPG,推出∠BPF=∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin;⑤连接FG,先证明BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF

①在矩形ABCD,∠ABC90°

∵△BPC沿PC折叠得到GPC

∴∠PGC=∠PBC90°,∠BPC=∠GPC

BECG

BEPG

∴∠GPF=∠PFB

∴∠BPF=∠BFP

BPBF

故①正确;

②在矩形ABCD中,∠A=∠D90°ABDC

EAD中点,

AEDE

ABEDCE中,

∴△ABE≌△DCE(SAS);

故②正确;

③当AD25时,

∵∠BEC90°

∴∠AEB+CED90°

∵∠AEB+ABE90°

∴∠CED=∠ABE

∵∠A=∠D90°

∴△ABE∽△DEC

AEx

DE25x

x9x16

AEDE

AE9DE16

故③正确;

④由③知:CEBE

由折叠得,BPPG

BPBFPG

BEPG

∴△ECF∽△GCP

BPBFPGy

y

BP

RtPBC中,PC

sinPCB

故④不正确;

⑤如图,连接FG

由①知BFPG

BFPGPB

BPGF是菱形,

BPGFFGPB9

∴∠GFE=∠ABE

∴△GEF∽△EAB

BEEFABGF12×9108

故⑤正确,

所以本题正确的有①②③⑤,4个,

故选:C

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