题目内容
【题目】已知a,b,c为正实数,且 ,则 的取值范围为 .
【答案】[27,30]
【解析】解:∵ , ∴ ,设x= ,y= ,则有 ,
∴ ,
作出平面区域如图所示:
令z= =3x+8y,则y=﹣ + ,
由图象可知当直线y=﹣ + 经过点A时,截距最大,即z最大;
当直线y=﹣ + 与曲线y= 相切时,截距最小,即z最小.
解方程组 得A(2,3),∴z的最大值为3×2+8×3=30,
设直线y=﹣ + 与曲线y= 的切点为(x0 , y0),
则( )′| =﹣ ,即 =﹣ ,解得x0=3,
∴切点坐标为(3, ),∴z的最小值为3×3+8× =27.
∴27≤z≤30,
所以答案是:[27,30].