Question

【题目】对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（﹣3，0）与点B关于直线x=﹣1对称，

∴点B的坐标为（1，0）．

（2）解：∵a=1，∴y=x2+bx+c．

∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x=﹣1，

∴

∴解得： ，

∴y=x2+2x﹣3，

且点C的坐标为（0，﹣3）．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则 ，

解得： ，

∴y=﹣x﹣3

如图，设点Q的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0．

则有QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+

∵﹣3≤﹣ ≤0，∴当x=﹣ 时，QD有最大值 ．

∴线段QD长度的最大值为 ．

【解析】（1）利用二次函数对称性即可得出B点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）进而求出最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对二次函数的最值的理解，了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．