题目内容
【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=
x-3交于A，B两点，其中点B在y轴上，点A坐标为（-4，-5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，B，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，△PAB的面积是否有最大值？如果有，请求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=x2+
x-3（2）存在，（-2-
，-1-
），（-1，-
），（-3，-
）（3）（-2，-8）
【解析】
（1）由题意可得点B（0，-3），将点B，点A坐标代入解析式，可求抛物线解析式；
（2）设P（m，m2+m-3），则点D（m，
m-3），可得PD=|m2+4m|，以O，B，P，D为顶点的平行四边形且OB∥PD，可得PD=|m2+4m|=OB=3，可求m的值，即可得点P的坐标；
（3）设点P（x，x2+x-3），则点D（x，x-3），则PD=-x2-4x，由题意可得S△PAB=×PD×4，根据二次函数的性质，可求△PAB的面积的最大值．
（1）∵直线y=x-3交y轴于点B
∴B（0，-3），
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，-5），点B（0，-3）
∴
解得：b=，c=-3
∴抛物线解析式y=x2+x-3
（2）存在，
设P（m，m2+m-3），（m＜0），
∴D（m，m-3），
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥BO，
∴当PD=OB=3，故存在以O，B，P，D为顶点的平行四边形，
∴|m2+4m|=3，
①当m2+4m=3时，
∴m1=-2-，m2=-2+（舍），
当m=-2-时，则m2+m-3=-1-
∴P（-2-，-1-），
②当m2+4m=-3时，
∴m1=-1，m2=-3，
当m1=-1时，则m2+m-3=-，
∴P（-1，-），
当m2=-3，∴m2+m-3=-，
∴P（-3，-），
∴点P的坐标为（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）．
（3）设点P（x，x2+x-3），则点D（x，x-3），
∴PD=x-3-（x2+x-3）=-x2-4x
∵S△APB=×PD×4=-2x2-8x=-2（x+2）2+8
∴当x=-2时，△PAB的面积的最大值为8．
∴点P坐标（-2，-8）
