题目内容

【题目】如图,直线ABy=﹣x+交坐标轴于AB两点,直线ACAB关于y轴对称,交x轴于点C.点PQ分别是线段BCAC上两个动点,且APQ始终等于30°

1)点B的坐标是( );ABC= 度;

2)若OAB相切,则O的半径等于

3)当P点坐标为(﹣20)时,求CQ的长;

4)当APQ为等腰三角形时,求P点的坐标.

【答案】180);3024;(3CQ的长为4APQ为等腰三角形时,P点的坐标为(80)或(0)或(﹣80).

【解析】

试题分析:1)由B点是直线ABx轴的交点,故令y=0,解出x的值即为B点的坐标,A点是直线ABy轴的交点,令x=0,可得出A点坐标,由三角函数的正弦值可得出ABC的值;(2)圆与直线相切,圆的半径就等于圆心到直线的距离,结合点到直线的距离公式即可得出结论;(3)由两个等于30°的角和一个公共角可得出CAP∽△PAQ,根据相似三角形的性质可找出AQ的值,再由CQ=AC﹣AQ,即可得出结论;(4)若三角形为等腰三角形,只需两条边相等即可,在此分哪两条边相等来讨论,即可得出结论.

解:(1)令y=0,则有0=﹣x+

解得:x=8

即点B的坐标是(80).

x=0,则有y=

即点A的坐标为(0).

AO=BO=8

tanABO==

∴∠ABO=30°

故答案为:(80);30

2∵⊙OAB相切,

∴⊙O的半径为点O到直线AB的距离.

直线ABy=﹣x+可变形为x+y﹣=0

O到直线AB的距离==4

∴⊙O的半径为4

故答案为:4

3直线ACAB关于y轴对称,

C坐标为(﹣80),ACB=ABC=30°

A的坐标为(0),点P的坐标为(﹣20),

AO=CO=8AC==PO=2CP=CO﹣PO=6AP==

∵∠CAP=PAQACP=APQ=30°

∴△CAP∽△PAQ

=AQ==

CQ=AC﹣AQ=

故当P点坐标为(﹣20)时,CQ的长为

4APQ为等腰三角形分三种情况:

AQ=PQ时,如图1

∵∠APQ=30°AQ=PQ

∴∠PAQ=30°

∵∠ACO=30°CAO=90°ACO=60°

∴∠PAO=CAOPAQ=30°

AOBC

PO=AOtanPAO=

P的坐标为(0).

AP=AQ时,如图2

此时P点与B点重合,Q点与C点重合,

P的坐标为(80).

AP=PQ时,如图3

∵∠APQ=30°PAQ=PQA==75°

∴∠CPA=180°ACP﹣CAP=180°﹣30°﹣75°=75°

∴∠CAP=CPA=75°

CP=CA=

OP=CP﹣CO=﹣8

P的坐标为(﹣80).

综上可知:当APQ为等腰三角形时,P点的坐标为(80)或(0)或(﹣80).

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