Question

【题目】如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．

将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB',FD′相交于点O．

简单应用：

(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是__________________．

(2)请你结合图1写出一条完美筝形的性质_______________．

(3)当图3中的∠BCD=120°时,∠AEB′=_________________．

(4)当图2中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有__________________________(写出筝形的名称：例 筝形ABCD)．

Answer 1

【答案】正方形 答案不唯一，关于角、边、对角线、对称性等均可 80° 筝形ABCD、筝形AEOF、筝形EBCB’、筝形FDCD’、筝形OD’CB’．五个筝形

【解析】

（1）根据“完美筝形”的定义判断即可得到结果；

（2）根据题意及图形即可得出完美筝形的性质；

（3）先证出∠AEB′=∠BCB′，再求出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出结果；

（4）由折叠的性质结合“完美筝形”的定义可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴正方形是完美筝形；

（2）由完美筝形的定义可得完美筝形的边的性质是：完美筝形的两组邻边分别相等，

完美筝形的角的性质是：只有一组对角相等；

连接完美筝形的两条对角线，探究发现完美筝形的对角线的性质：完美筝形的两条对角线互相垂直；完美筝形的一条对角线平分一组对角；

完美筝形的对称性：完美筝形是轴对称图形；

证明：连接AC、BD，

∵四边形ABCD是“完美筝形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，

∴△ABC≌△ADC（SAS），（完美筝形是轴对称图形）

∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，（完美筝形的一条对角线平分一组对角）

∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，

∴AC⊥BD；（完美筝形的两条对角线互相垂直）

（3）根据题意得：∠EB′C=∠B=90°，
∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，
∵∠AEB′+∠BEB′=180°，
∴∠AEB′=∠BCB′，
∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠ECF=40°，
∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；

（4）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个：筝形ABCD、筝形AEOF、筝形EBCB’、筝形FDCD’、筝形OD’CB’．:理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，
∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵四边形ABCD是“完美筝形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，
∴∠OD′E=∠OB′F=90°，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，
∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，
在△OED′和△OFB′中，

，
∴△OED′≌△OFB′（AAS），
∴OD′=OB′，OE=OF，
∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个：筝形ABCD、筝形AEOF、筝形EBCB’、筝形FDCD’、筝形OD’CB’．