题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,经过点B(0,3)和点(2,3),与x轴交于C,D两点,(点C在点D的左侧),且OD=OB.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连接AB,BD,DA,试判断△ABD的形状;
(3)点P是BD上方抛物线上的动点,当P运动到什么位置时,△BPD的面积最大?求出此时点P的坐标及△BPD的面积.
【答案】
(1)
解:∵B(0,3)和点(2,3)的纵坐标相同,
∴抛物线的对称轴为x=1,OB=3.
∵OD=OB,
∴OD=3.
∵抛物线与x轴交于C,D两点,(点C在点D的左侧),
∴D(3,0).
将点B(0,3)、(2,3)、(3,0)代入抛物线的解析式得: ,
解得:a=﹣1,b=2,c=3.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
(2)
解:∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴点A的坐标为(1,4).
依据两点间的距离公式可知:AB2=(1﹣0)2+(4﹣3)2=2,AD2=(3﹣1)2+(4﹣0)2=20,BD2=(3﹣0)2+(0﹣3)2=18,
∴AB2+BD2=AD2.
∴△ABD为直角三角形
(3)
解:如图所示:连结OP.
设点P的坐标为(x,﹣x2+2x+3).
△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积
= ×3×x+
×3×(﹣x2+2x+3)﹣
×3×3
=﹣ x2+
x
=﹣ (x﹣
)2+
.
∴当x= 时,△DBP的面积最大,最大值为
.
将x= 代入抛物线的解析式得y=
,
∴点P的坐标为( ,
)
【解析】(1)由点B的坐标可知OB=3,OD=3,故此可得到点D的坐标,然后利用待定系数法求解即可;(2)先由抛物线的解析式求得点A的坐标,然后利用两点间的距离公式可求得AB、AD、BD的长,最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可(3)如图所示:连结OP.设点P的坐标为(x,﹣x2+2x+3).依据△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积,列出△DBP的面积与x的函数关系式,然后依据二次函数的性质求解即可.
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