题目内容

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,经过点B(0,3)和点(2,3),与x轴交于C,D两点,(点C在点D的左侧),且OD=OB.

(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连接AB,BD,DA,试判断△ABD的形状;
(3)点P是BD上方抛物线上的动点,当P运动到什么位置时,△BPD的面积最大?求出此时点P的坐标及△BPD的面积.

【答案】
(1)

解:∵B(0,3)和点(2,3)的纵坐标相同,

∴抛物线的对称轴为x=1,OB=3.

∵OD=OB,

∴OD=3.

∵抛物线与x轴交于C,D两点,(点C在点D的左侧),

∴D(3,0).

将点B(0,3)、(2,3)、(3,0)代入抛物线的解析式得:

解得:a=﹣1,b=2,c=3.

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3


(2)

解:∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴点A的坐标为(1,4).

依据两点间的距离公式可知:AB2=(1﹣0)2+(4﹣3)2=2,AD2=(3﹣1)2+(4﹣0)2=20,BD2=(3﹣0)2+(0﹣3)2=18,

∴AB2+BD2=AD2

∴△ABD为直角三角形


(3)

解:如图所示:连结OP.

设点P的坐标为(x,﹣x2+2x+3).

△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积

= ×3×x+ ×3×(﹣x2+2x+3)﹣ ×3×3

=﹣ x2+ x

=﹣ (x﹣ 2+

∴当x= 时,△DBP的面积最大,最大值为

将x= 代入抛物线的解析式得y=

∴点P的坐标为(


【解析】(1)由点B的坐标可知OB=3,OD=3,故此可得到点D的坐标,然后利用待定系数法求解即可;(2)先由抛物线的解析式求得点A的坐标,然后利用两点间的距离公式可求得AB、AD、BD的长,最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可(3)如图所示:连结OP.设点P的坐标为(x,﹣x2+2x+3).依据△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积,列出△DBP的面积与x的函数关系式,然后依据二次函数的性质求解即可.

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