Question

已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．
（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）

AF

AN

与

AP

AD

是否相等？请你说明理由；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考）

Answer 1

（1）如图：

（2）解法一：

AF

AN

与

AP

AD

不相等．
假设

AF

AN

=

AP

AD

，
则由相似三角形的性质，得MN∥DC，
∵∠D=90°
∴DC⊥AD
∴MN⊥AD
∵据题意得，A与P关于MN对称，
∴MN⊥AP
∵据题意，P与D不重合，
∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾，
∴假设不成立，
∴

AF

AN

=

AP

AD

不成立；

解法二：

AF

AN

与

AP

AD

不相等．
理由如下：
∵P，A关于MN对称，
∴MN垂直平分AP
∴cos∠FAN=

AF

AN

∵∠D=90°
∴cos∠PAD=

AD

AP

∵∠FAN=∠PAD
∴

AF

AN

=

AD

AP

∵P不与D重合，P在边DC上
∴AD≠AP
∴

AD

AP

≠

AP

AD

从而

AF

AN

≠

AP

AD

；


（3）∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP=90°
∴∠CMP+∠AMB=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CMP=∠BAM
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM≌△MCP
∴MC=AB=4
设PD=x，则CP=4-x
∴BM=PC=4-x
连接HO并延长交BC于J，
∵AD是⊙O的切线
∴∠JHD=90°
∴HDCJ为矩形
∴OJ∥CP
∴△MOJ∽△MPC
∴OJ：CP=MO：MP=1：2
∴OJ=

1

2

（4-x）
OH=

1

2

MP=4-OJ=

1

2

（4+x）
∵MC²=MP²-CP²
∴（4+x）²-（4-x）²=16
解得：x=1，即PD=1，PC=3
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．