Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∴OD=OA，
∴∠1=∠2，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB=90°，（1分）
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，（2分）
∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分线．（3分）

（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=3，
∴BC=4，AB=5，（4分）
在Rt△ODB中，tanB=，
设一份为x，则OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=5，
解得x=，
∴半径OA=．（5分）
分析：（1）连接OD．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：∠1=∠2；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠1=∠3；最后由角平分线的性质证明结论；
（2）在Rt△ABC中，由“tanB=，AC=3”求得BC=4，AB=5；然后在Rt△ODB中，利用∠B的正切值求得；设一份为x，则OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x．列出关于x的方程，解方程即可．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．