题目内容

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
（1）此抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．

解：（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
又∵CF•OB=8，
∴CF=4，
由题意可知，点C（-2，2），点F（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+1；

（2）设P点的坐标为（x₀， $\text{[math]}$ x₀²+1），
则PB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x₀²+1，
又点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ x₀²+1，
∴以点P为圆心、PB为半径的圆与x轴相切；

（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，
∵PN、QM垂直x轴，
∴QM∥BO∥PN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△QMO∽△PNO．
分析：（1）先根据点B（0，2），CF•OB=8，可知CF=4，由矩形的性质可得出C、F点的坐标，再用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设P点的坐标为（x₀， $\text{[math]}$ x₀²+1），利用两点间的距离公式可得出PB的长，再根据P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ x₀²+1即可得出结论；
（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，再根据PN、QM垂直x轴可得出QM∥BO∥PN，由平行线分线段成比例定理及∠QMO=∠PNO=90°即可得出△QMO∽△PNO．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、切线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定，涉及面较广，难度较大．