Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OA，AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，再根据抛物线过原点可求出a的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO，由△BOP与△AOB相似可知∠POB=∠BOA=∠BPO，设OP交抛物线的对称轴于C点，求出C点坐标及直线OP的解析式，把抛物线的解析式与直线OP的解析式组成方程组即可求出P点坐标，过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中利用勾股定理可求出BP的长，由PB≠OB可知∴△PBO与△BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．

解答：解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1．
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2）²+1，
∴a=-

1

4

．
故抛物线的解析式为y=-

1

4

(x-2)2+1，即y=-

1

4

x2+x． 

（2）如图，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
∵△BOP与△AOB相似，
∴∠POB=∠BOA=∠BPO．
设OP交抛物线的对称轴于C点，
∴C（2，-1），
∴直线OP的解析式为y=-

1

2

x，
∵抛物线与直线OP有交点，
∴-

1

2

x=-

1

4

x²+x，
解得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）．
过P作PE⊥x轴，
在Rt△BEP中，
∵BE=2，PE=3，
∴PB=

22+32

=

13

≠4．
∴PB≠OB．
∴∠BOP≠∠BPO．
∴△PBO与△BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
故在该抛物线上不存在点P，使得△OBP与△OAB相似．

点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、勾股定理等相关知识，难度适中．