Question

（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：

b

sinB

=

c

sinC

；
（2）在△ABC中，AB=

3

，AC=

2

，∠B=45°，问满足这样的△ABC有几个在图2中作出来（不写作法，不述理由）并利用（1）的结论求出∠ACB的大小．

Answer 1

分析：（1）通过在BC边上作高，利用两个直角三角形和三角函数来求证．
（2）已知∠B=45°，则我们可以推测有两种情况，即锐角和钝角两种，按此思路来进行验证．

解答：（1）证明：过A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AD=csinB，
在Rt△ACD中，AD=bsinC，
csinB=bsinC，
故

b

sinB

=

c

sinc

．

（2）解：满足条件的△ABC有两个．
若∠ACB为锐角，由（1）的结论有

2

sin45°

=

3

sinc

，
∴sinc=

3

2

，
∴∠ACB=60°；
若∠AC′C=∠ACC′=60°，
∴∠AC′B=120°．

点评：此题考查了辅助线的添法，验证法及直角三角形的性质和三角函数的综合运用．