题目内容
【题目】综合与实践
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为斜边AB上的动点(不与点A,B重合).
(1)操作发现:如图①,当AC=BC=8时,把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE,BE.
①∠CBE的度数为 ;
②当BE= 时,四边形CDBE为正方形;
(2)探究证明:如图②,当BC=2AC时,把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍,记为线段CE,连接DE,BE.
①在点D的运动过程中,请判断∠CBE与∠A的大小关系,并证明;
②当CD⊥AB时,求证:四边形CDBE为矩形.
【答案】(1)①45°;②;(2)①∠CBE=∠A,证明详见解析;②详见解析
【解析】
(1)①根据等腰直角三角形的性质得到,证明,根据全等三角形的性质证明结论;
②根据勾股求出AB,再根据正方形的性质计算即可;
(2)①证明,根据相似三角形的性质证明结论;
②根据全等三角形的性质、矩形的判定定理证明.
解:(1)①∵,
∴,
,
∴∠ACB=∠DCE,
∴,
即,
在和中,
,
∴(SAS),
;
故答案为:45°;
②,
,
当四边形CDBE是正方形时,CD⊥AB,BE=BD=AD,
;
故答案为:.
(2)①∠CBE=∠A.
理由如下:
∵BC=2AC,CE=2CD,
∴,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴∠CBE=∠A;
②证明:∵∠CBE=∠A,∠DBC+∠A=90°,
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=∠DBC+∠A=90°,
∵
∴∠CDB=90°,
又∵∠DCE=90°,
∴四边形CDBE是矩形.