题目内容
【题目】如图,在等腰直角三角形和中,点为它们的直角顶点,当与有重叠部分时:
(1)①连接,如图1,求证: ;
②连接,如图2,求证: ;
(2)当与无重叠部分时:连接,如图3,当, 时,计算四边形面积的最大值,并说明理由.
【答案】(1) ①见解析;②见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)①利用同角的余角相等证出∠ACD=∠BCE,然后利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论;
②因为△ACE与△CDB的一条边AC=BC,所以要证两个三角形的面积相等只要证明AC和BC边上的高相等即可,过点E作EF⊥AC,过点D作DH⊥BC,通过证明△CEF≌△CDH即可得出结论;
(2)设△BCD的BC边上的高为h,同(1)②的方法可得S△ACE=S△BCD,所以S四边形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE+S△BCD=+5h,而h≤CD,故当h=CD=2时S四边形ABDE最大,代入h=2求出最大值即可.
试题解析:
解:(1)①∵∠ACD+∠BCD=90°,∠BCE+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
又∵AC=BC,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;
②如图:作EF⊥AC交AC的延长线于点F,作DH⊥BC于点H,
∵∠FCE+∠ECH=90°,∠HCD+∠ECH=90°,
∴∠FCE=∠HCD,
∵∠EFC=∠DHC=90°,CE=CD,
∴△CEF≌△CDH(AAS),
∴EF=DH,
∵S△ACE=AC·EF,S△CDB=BC·DH,AC=BC,
∴S△ACE=S△CDB;
(2)设△BCD的BC边上的高为h,
同(1)②的方法可得S△ACE=S△BCD,
∴S四边形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE+S△BCD=×52+×22+2 S△BCD =+5h,
∵h≤CD,
∴当h=CD=2时S四边形ABDE最大,
∴四边形ABDE的面积最大值为+5×2=.