题目内容

【题目】我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似的,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

(1)请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称.

(2)如图1,在中,点分别在上,且相交于点,若 .请你写出与相等的角.

(3)我们易证图中的四边形是等对边四边形.

(提示:如图2,可证再证,可得到结论.不需证明)

若在中,如果是不等于的锐角, 分别在上,且相交于点 .探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.

【答案】(1)平行四边形(答案不唯一);(2)(3)证明见解析

【解析】(1)本题理解等对边四边形的图形的定义,平行四边形,等腰梯形就是;(2)与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE),四边形是等对边四边形;(3)作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点.易证△BCF≌△CBG,进而证明△BDF≌△CEG,所以BD=CE,所以四边形是等边四边形.
解:(1)如:平行四边形、等腰梯形等.
(2)答:与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE),
∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°,
∴∠A=∠BOD,
猜想:四边形DBCE是等对边四边形;
(3)答:此时存在等对边四边形,是四边形DBCE.
证法一:如图,作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点.

∵∠DCB=∠EBC=∠A,BC为公共边,
∴△BCF≌△CBG,∴BF=CG,
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A,
∴∠BDF=∠BEC,∴△BDF≌△CEG,
∴BD=CE
∴四边形DBCE是等对边四边形.
证法二:如图,以C为顶点作∠FCB=∠DBC,CF交BE于F点.


∵∠DCB=∠EBC=∠A,BC为公共边,
∴在△BDC与△CFB中,
∠DBC=∠FCB,BC=CB,∠DCB=∠EBC,

∴△BDC≌△CFB(ASA),
∴BD=CF,∠BDC=∠CFB,
∴∠ADC=∠CFE,
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE,∠FEC=∠A+∠ABE,
∴∠ADC=∠FEC,
∴∠FEC=∠CFE,
∴CF=CE,
∴BD=CE,
∴四边形DBCE是等对边四边形.
“点睛”解决本题的关键是理解等对边四边形的定义,把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题.

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