Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②0＜b＜1，③0＜a+b+c＜2，④当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

抛物线开口方向得a＜0，利用对称轴在y轴的右侧得b＞0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c＝1，a﹣b+c＝0，则b＝a+c＝a+1，所以0＜b＜1，于是可对②进行判断；由于a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2，利用a＜0可得a+b+c＜2，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则x＝1时，函数值为正数，即a+b+c＞0，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x＞﹣1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对④进行判断．

解：∵由抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在y轴的右侧，

∴b＞0，

∴ab＜0，所以①正确；

∵点（0，1）和（﹣1，0）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，

∴c＝1，a﹣b+c＝0，

∴b＝a+c＝a+1，

而a＜0，

∴0＜b＜1，所以②正确；

∵a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2，

而a＜0，

∴2a+2＜2，即a+b+c＜2，

∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x＝1的左侧，

∴抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，

∴x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，

∴0＜a+b+c＜2，所以③正确；

∵x＞﹣1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，

∴y＞0或y＝0或y＜0，所以④错误．

故选C．