题目内容
【题目】⊙O为△ABC的外接圆，过圆外一点P作⊙O的切线PA，且PA∥BC．
（1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形：
（2）如图2，在AB边上取一点E，AC边上取一点F，直线EF交PA于点M，交BC的延长线于点N，若ME=FN，求证：AE=CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE、OF，∠EOF=120°，
，EF=
，求⊙O的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为4．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，易证明AB=AC，只要证明AD垂直平分BC即可．
（2）如图2中，过点F作FK∥AB交BC于点K，只要证明△AME≌△KNF，△FKC是等腰三角形即可．
（3）如图3中，过点E作EG⊥AM于G，过点F作FH⊥AM交MA的延长线于点H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K，过点E作EQ⊥FH于点Q，连接OA、OC，则四边形GEQH是矩形，首先证明△ABC是等边三角形，设AG=a，AH=b，求出相应的线段，在RT△EFQ中，根据tan∠FMH=tan∠FEQ=
=
=
，求出a、b的关系，再利用勾股定理求出a、b，最后根据AE+AF=2AD，求出AD，在RT△AOD中即可解决OA．
（1）证明：如图1中，连接AO并延长交BC于点D，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥OA，即∠PAD=90°．
∵PA∥BC，
∴∠PAD=∠ADC=90°，
∴OD⊥BC，
∴根据垂径定理可得BD=CD，
∴AD垂直平分BD，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形；
（2）如图2中，过点F作FK∥AB交BC于点K，
∵PA∥BC，FK∥AB，
∴∠AME=∠N，∠MAB=∠B．
∵∠B=∠FKC，
∴∠MAB=∠FKC．
在△AME和△KNF中，
，
∴△AME≌△KNF，
∴AE=FK，
∵FK∥AB，
∴∠B=∠FKC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠FKC=∠ACB，
∴FK=CF．
∵AE=FK，
∴AE=FC．
（3）如图3中，过点E作EG⊥AM于G，过点F作FH⊥AM交MA的延长线于点H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K．
过点E作EQ⊥FH于点Q，连接OA、OC，则四边形GEQH是矩形，
由（1）知AB=AC，OA⊥BC，
∴∠OAB=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠OAB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴∠AOE=∠COF，
∴∠AOC=∠EOF=120°，
∴∠B=
∠AOC=60°，∠OCA=∠OAC=30°．
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵PA∥BC，
∴∠MAE=∠B=60°．
∵EG⊥AM，∠MAE=60°，
∴∠AEG=30°，
同理∠AFH=30°，
设AG=a，AH=b，
∴EG=
a，FH=
b，AF=2AH=2b，
∵AB=AC，AE=CF，
∴BE=AF=2AM，
∴AM=AH=b，tan∠FMH=tan∠FEQ=
=
，
在RT△EFQ中，
∵EQ=GH=a+b，QF=FH﹣HQ=FH﹣EG=（b﹣a），
∴
=，
∴
=
，
∴b=3a，
∴（a+3a）2+[
（3a﹣a）]2=（2
），
∴a=，
∴AE=2，AF=3，
在△AOD和△AOK中，
△AOD≌△AOK，
∴OD=OK，AD=AK，
在RT△ODE和RT△OKF，
，
∴RT△EOD≌RT△FOK，
∴DE=FK，
∴AE+AF=AD﹣DE+AK+KF=2AD=4
，
∴AD=2，
在RT△AOD中，∵AD=2，∠OAD=30°，
∴OD=2，AO=4，
∴⊙O的半径为4．
