Question

利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形的

1

2

，

1

4

，

1

8

，…

1

2n

，根据图示我们可以知道：第一次取走

1

2

后还剩

1

2

，即

1

2

=1-

1

2

；前两次取走

1

2

+

1

4

后还剩

1

4

，即

1

2

+

1

4

=1-

1

4

；前三次取走

1

2

+

1

4

+

1

8

后还剩

1

8

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

；…前n次取走后，还剩

1

2n

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=

1-

1

2n

．
利用上述计算：
（1）

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=

1-

1

3n

．
（2）

1

3

+

2

9

+

4

27

+…+

2n-1

3n

=

1-

2n

3n

．
（3）2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰¹¹+2²⁰¹² （本题写出解题过程）

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，依次取正方形面积的

2

3

，

2

9

，

2

27

…找出规律即可；
（2）根据题意画出图形，依次取正方形面积的

1

3

，

2

9

，

4

27

…找出规律即可；
（3）根据同底数幂的乘法进行计算即可．

解答：解：∵第一次取走

1

2

后还剩

1

2

，即

1

2

=1-

1

2

；
前两次取走

1

2

+

1

4

后还剩

1

4

，即

1

2

+

1

4

=1-

1

4

；
前三次取走

1

2

+

1

4

+

1

8

后还剩

1

8

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

；
∴前n次取走后，还剩

1

2n

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=1-

1

2n

；
故答案为：

1

2n

，

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=1-

1

2n

；

（1）如图所示：

由图可知，

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=1-

1

3n

．
故答案为：1-

1

3n

；

（2）如图是一个边长为1的正方形，根据图示

由图可知，

1

3

+

2

9

+

4

27

+…+

2n-1

3n

=1-

2n

3n

，
故答案为：1-

2n

3n

；

（3）2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰¹¹+2²⁰¹²
=2-2²⁰¹²（2^-2010+2^-2009+2^-2008+…+2^-1）+2²⁰¹²
=2-2²⁰¹²（1-2^-2010）+2²⁰¹²
=2-2²⁰¹²+4+2²⁰¹²
=6．

点评：本题考查的是整式的加减，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．