题目内容

(2012•永安市质检)如图,以AB为直径的⊙O经过点C,D是AB延长线上一点,且DC=AC,∠CAB=30°.
(1)试判断CD所在的直线与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2,求阴影部分的面积.
分析:(1)连接OC,证明∠OCD=90°,从而判断CD与⊙O相切.易证∠COD=60°,所以∠OCD=90°,从而得证;
(2)利用“切割法”解答,即S阴影=S△OCD-S扇形OCB
解答:解:(1)CD是⊙O的切线.理由如下:
∵DC=AC,∠CAB=30°,
∴∠CAD=∠CDA=30°(等边对等角).
连接OC.
∴∠COB=60°,即∠COD=60°(在同圆中,同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半).
在△COD中,∠CDO=30°,∠COD=60°,
∴∠DCO=90°.
又∵点C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线,即直线CD与⊙O相切;

(2)连接BC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角).
∵∠CAB=30°,
∴∠COD=2∠CAB=60°,OC=
1
2
AB=1,
∴在Rt△OCD中,CD=OC×tan60°=
3

∴S阴影=S△OCD-S扇形OCB=
1
2
×1×
3
-
60π×12
360
=
3
2
-
π
6
点评:此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点,难度中等.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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