题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,与y轴交于点C,顶点为D,若以BD为直径的⊙M经过点C.
(1)请直接写出C,D两点的坐标(用含a的代数式表示);
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点E,使∠EDB=∠CBD?若存在,请求出所有满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵将x=0代入抛物线的解析式得y=﹣3a,
∴点C的坐标是(0,﹣3a).
∵x=﹣ = =1,
∴点D的横坐标为1.
∵将x=1代入抛物线的解析式得y=a﹣2a﹣3a=﹣4a,
∴点D的坐标是(1,﹣4a).
(2)
解:解:令y=0得:ax2﹣2ax﹣3a=0
∵a≠0,故得x1=﹣1,x2=3
∴A(﹣1,0),B(3,0).
如图1所示:过点D作DN⊥y轴于点N,则DN=1,CN=﹣4a﹣(﹣3a)=﹣a.
∵BD为⊙M的直径,
∴∠BCD=90°.
∴∠DCN+∠BCO=90°.
∵∠CDN+∠DCN=90°,
∴∠BCO=∠CDN,
∵∠BOC=∠DNC=90°,
∴△BOC∽△CND.
∴ ,即 ,解得:a=±1(其中a=1舍去),
∴a=﹣1.
∴所求抛物线为y=﹣x2+2x+3.
(3)
解:∵a=﹣1,
∴D(1,4).
∵设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,3)代入得: ,解得:k=﹣1,b=3,
∴直线BC为:y=﹣x+3.
如图2所示:过点D作DE∥BC,交抛物线与点E.
∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠CBD.
∴设直线DE为y=﹣x+b
∵把点D(1,4)代入得:4=﹣1+b,解得:b=5,
∴直线DE为:y=﹣x+5.
解方程组 得: ,
∵D(1,4)
∴E(2,3).
如图3所示:作∠PDB=∠CBD,DP交BC于点P,交抛物线与点E.
∵∠EDB=∠CBD,
∴PD=PB.
又∵MB=MD,
∴PM⊥BD.
∵B(3,0),D(1,4),
∴直线BD为y=﹣2x+6,且M(2,2)
∴设直线PM为 ,
∴2=1+b2,
∴b2=1
∴直线PM为:
解方程组 得: ,
∴P( , )
∵D(1,4),P( , )
∴直线PD为:y=﹣7x+11
解方程组 得: ,
∵D(1,4),
∴E(8,﹣45).
综上所述,在抛物线上存在满足条件的点E,点E的坐标为E(2,3)或E(8,﹣45).
【解析】(1)将x=0代入抛物线的解析式可得到点C的坐标,依据抛物线的对称轴方程可求得点D的横坐标,然后将点D的横坐标代入可求得点D的纵坐标;(2)令y=0可求得点A、B的坐标,过点D作DN⊥y轴于点N,则DN=1,CN=﹣a.接下来证明△BOC∽△CND,然后依据相似三角形的性质可求得a的值,从而得到抛物线的解析式;(3)先求得点D的坐标、直线BC的解析式,点D作DE∥BC,交抛物线与点E.设直线DE的解析式为y=﹣x+b,把点D(1,4)代入直线DE的解析式求得b的值,然后将DE的解析式与抛物线的解析式组成方程可求得点E的坐标;作∠PDB=∠CBD,DP交BC于点P,交抛物线与点E.克证明MP垂直平分BD,从而可求得PM的解析式,然后由PM的解析式和BC的解析式可求得点P的坐标,接下来求得PD的解析式,最后根据DP的解析式和抛物线的解析式可求得E的坐标.
【考点精析】掌握二次函数的概念和二次函数的图象是解答本题的根本,需要知道一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数;二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点.