Question

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

【小题1】（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）
【小题2】（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）
【小题3】（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）

Answer 1

【小题1】（1）证明：连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线，
又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED.    （2分）
又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.
∴EB=EC，即点E是边BC的中点.   
【小题2】（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC²=BD·BA， ∴（2EC）²= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，   （6分）
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.
【小题3】（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分）
理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC, 
∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）

解析