Question

【题目】如图1，四边形内接于，为延长线上一点，平分．

（1）求证：；

（2）如图2，若为直径，过点的圆的切线交延长线于，若，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）2.5

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EDA＝∠ACB，根据圆周角定理得到∠CDA＝∠ABC，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）连接AO并延长交BC于H，AM⊥CD于M，根据角平分线的性质得到DM＝DE＝1，AE＝AM＝2，证明Rt△ABE≌Rt△ACM，得到CM＝BE，根据勾股定理列式计算得到答案．

（1）证明：∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠EDA＝∠ACB，
由圆周角定理得，∠CDA＝∠ABC，
∵AD平分∠EDC，
∴∠EDA＝∠CDA，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM⊥CD于M，
∵AB＝AC，四边形ADBC内接于⊙O，
∴AH⊥BC，又AH⊥AE，
∴AE∥BC，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC＝90°，
∴四边形AEBH为矩形，

∴BH＝AE＝2，
∴BC＝4，
∵AD平分∠EDC，∠E＝90°，AM⊥CD，
∴DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，
在Rt△ABE和Rt△ACM中，

∴Rt△ABE≌Rt△ACM（HL），

∴BE＝CM，
设BE＝x，CD＝x＋2，
在Rt△BDC中，x2＋42＝（x＋2）2，
解得，x＝3，
∴CD＝5，
∴⊙O的半径为2.5．