Question

已知：如图，二次函数y=2x²-2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x²-2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）令二次函数解析式中x=0，可得出C点坐标，令y=0，可得出A、B的坐标．
（2）由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当△PDB∽△COB时；②当△PDB∽△BOC时；可根据不同的相似三角形得出的不同的对应线段成比例来求出DP的长，即可表示出P点的坐标．
（3）若四边形ABPQ为平行四边形，那么Q点的坐标可有P点坐标向左平移AB个单位来得出，然后将Q点坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值．

解答：解：（1）令y=0得2x²-2=0
解得x=±1，
点A为（-1，0），点B为（1，0），
令x=0，得y=-2，
所以点C为（0，-2）．

（2）当△PDB∽△COB时，有

PD

OC

=

BD

OB

，
∵BD=m-1，OC=2，OB=1，
∴

PD

2

=

m-1

1

，
∴PD=2（m-1），
∴P₁（m，2m-2）．
当△PDB∽△BOC时，

PD

OB

=

BD

OC

，
∵OB=1，BD=m-1，OC=2，
∴

PD

1

=

m-1

2

，
PD=

m-1

2

，
∴P₂（m，

m

2

-

1

2

）．

（3）假设抛物线y=2x²-2上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，
∴PQ=AB=2，点Q的横坐标为m-2．
当点P₁为（m，2m-2）时，
点Q₁的坐标是（m-2，2m-2）（9分）
∵点Q₁在抛物线y=2x²-2图象上，
∴2m-2=2（m-2）²-2，m-1=m²-4m+4-1，
m²-5m+4=0，m₁=1（舍去），m₂=4．
当点P₂为（m，

m

2

-

1

2

）时，
点Q₂的坐标是（m-2，

m

2

-

1

2

），
∵Q₂在抛物线y=2x²-2图象上，
∴

m

2

-

1

2

=2（m-2）²-2，
去分母，得
m-1=4（m-2）²-4m-1，
移项，得
4m²-16m+16-44m²-17m+13=0，
整理，得
（m-1）（4m-13）=0，
∴m₃=1（舍去），m₄=

13

4

，
∴m的值为4、

13

4

．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识．