Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C、D两点的坐标分别为(8,0)、(0,6).现有两动点P、Q分别从A、C同时出发,点P沿折线ADC向终点C运动, 点Q沿线段CA向终点A运动,当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也立即停止运动,设运动时间为t秒.

(1)填空：菱形ABCD的边长是          ,面积是          ；
(2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒2.5个单位,点Q的速度为每秒3个单位,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并求出S的最大值；
②在运动过程中,能否使得△APQ绕它的一边中点旋转180°,旋转前后两个三角形组成的四边形为矩形,若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）10,24；（2）①S最大=16；②或.

试题分析：（1）根据勾股定理可求得菱形ABCD的边长是10,用菱形的面积公式即可求出面积；
（2）①分情况讨论P点的位置,借助三角形相似进行计算；
②分别讨论当∠APQ=90°时,当∠AQP=90°时,t的取值即可.
试题解析：（1）10,24；
（2）①当P点在AD上时（0<t<4）
由题意,得AP=2.5t,AQ=16－3t.
如图1,过点P作PG⊥AC,垂足为G,则 △APG∽△ADO,

∴,
∴PG=,
∴.
当P点在CD上时,Q先到终点,故 
AD+DP=2.5t,CQ==3t,则AQ=16-3t,CP=20-2.5t,
过点P作PG⊥AC,垂足为G,则 △PCH∽△DCO,

∴,
∴PH=12-,
∴.
当0<t<4时,,
当4≤t＜时,对称轴为t= ,
根据二次函数的增减性t=4,S最大=12,
综上可知：S最大="16" ；
②∵△APQ绕它的一边中点旋转180°,旋转前后两个三角形组成的四边形为矩形,
∴△APQ为直角三角形.
当∠APQ=90°时,

AP=2.5t,CQ=3t,则AQ=16－3t.
∵∠APQ=∠AOD=90°
∠PAQ=∠DAO
∴△APG∽△ADO,
∴,
∴ 
∴ 
当∠AQP=90°时,

AP=2.5t,CQ=3t,则AQ=16－3t.
∵∠AQP=∠AOD=90°
∠PAQ=∠DAO
∴△APG∽△ADO,
∴,
∴ 
∴ 
∴当或时,△APQ绕它的一边中点旋转180°,旋转前后两个三角形组成的四边形为矩形.