题目内容
(2013•丽水)如图,点P是反比例函数y=
(k<0)图象上的点,PA垂直x轴于点A(-1,0),点C的坐标为(1,0),PC交y轴于点B,连结AB,已知AB=
.
(1)k的值是
(2)若M(a,b)是该反比例函数图象上的点,且满足∠MBA<∠ABC,则a的取值范围是
k |
x |
5 |
(1)k的值是
-4
-4
;(2)若M(a,b)是该反比例函数图象上的点,且满足∠MBA<∠ABC,则a的取值范围是
0<a<2或
<a<
-11-
| ||
2 |
-11+
| ||
2 |
0<a<2或
<a<
.-11-
| ||
2 |
-11+
| ||
2 |
分析:(1)设P(-1,t).根据题意知,A(-1,0),B(0,2),C(1,0),由此易求直线BC的解析式y=-2x+2.把点P的坐标代入直线BC的解析式可以求得点P的坐标,由反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值;
(2)如图,延长线段BC交抛物线于点M,由图可知,当x<a时,∠MBA<∠ABC;作C关于直线AB的对称点C′,连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′,当x<a时,∠MBA<∠ABC.
(2)如图,延长线段BC交抛物线于点M,由图可知,当x<a时,∠MBA<∠ABC;作C关于直线AB的对称点C′,连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′,当x<a时,∠MBA<∠ABC.
解答:解:(1)如图,PA垂直x轴于点A(-1,0),
∴OA=1,可设P(-1,t).
又∵AB=
,
∴OB=
=
=2,
∴B(0,2).
又∵点C的坐标为(1,0),
∴直线BC的解析式是:y=-2x+2.
∵点P在直线BC上,
∴t=2+2=4
∴点P的坐标是(-1,4),
∴k=-4.
故填:-4;
(2)①如图1,延长线段BC交双曲线于点M.
由(1)知,直线BC的解析式是y=-2x+2,反比例函数的解析式是y=-
.
则
,
解得,
或
(不合题意,舍去).
根据图示知,当0<a<2时,∠MBA<∠ABC;
②如图,作C关于直线AB的对称点C′,连接BC′并延长交双曲线于点M′.
∵A(-1,0),B(0,2),
∴直线AB的解析式为:y=2x+2.
设CC′解析式为:y=-
x+b,
∵C(1,0),
∴b=
,
∴CC′解析式为:y=-
x+
,
∵AC=AC′=2,
∴设C′点横坐标为:x,则纵坐标为:-
x+
,
∴(-x-1)2+(-
x+
)2=4
解得:x1=-
,x2=1(不合题意舍去),
∴C′(-
,
),则易求直线BC′的解析式为:y=
x+2,
∴
,
解得:x1=
,x2=
,
则根据图示知,当
<a<
时,∠MBA<∠ABC.
综合①②知,当0<a<2或
<a<
时,∠MBA<∠ABC.
故答案是:0<a<2或
<a<
.
∴OA=1,可设P(-1,t).
又∵AB=
5 |
∴OB=
AB2-OA2 |
5-1 |
∴B(0,2).
又∵点C的坐标为(1,0),
∴直线BC的解析式是:y=-2x+2.
∵点P在直线BC上,
∴t=2+2=4
∴点P的坐标是(-1,4),
∴k=-4.
故填:-4;
(2)①如图1,延长线段BC交双曲线于点M.
由(1)知,直线BC的解析式是y=-2x+2,反比例函数的解析式是y=-
4 |
x |
则
|
解得,
|
|
根据图示知,当0<a<2时,∠MBA<∠ABC;
②如图,作C关于直线AB的对称点C′,连接BC′并延长交双曲线于点M′.
∵A(-1,0),B(0,2),
∴直线AB的解析式为:y=2x+2.
设CC′解析式为:y=-
1 |
2 |
∵C(1,0),
∴b=
1 |
2 |
∴CC′解析式为:y=-
1 |
2 |
1 |
2 |
∵AC=AC′=2,
∴设C′点横坐标为:x,则纵坐标为:-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴(-x-1)2+(-
1 |
2 |
1 |
2 |
解得:x1=-
11 |
5 |
∴C′(-
11 |
5 |
8 |
5 |
2 |
11 |
∴
|
解得:x1=
-11+
| ||
2 |
-11-
| ||
2 |
则根据图示知,当
-11-
| ||
2 |
-11+
| ||
2 |
综合①②知,当0<a<2或
-11-
| ||
2 |
-11+
| ||
2 |
故答案是:0<a<2或
-11-
| ||
2 |
-11+
| ||
2 |
点评:本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式,反比例函数图象上点的坐标特征以及分式方程组的解法.解答(2)题时,一定要分类讨论,以防漏解.另外,解题的过程中,利用了“数形结合”的数学思想.
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