Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若，求∠E的度数．

（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3）．

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，则有∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，由等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；

（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD，DE，BE，在Rt△DAH中，用勾股定理即可得到AD的长．

试题解析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴，∴，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；

（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°，∴∠EBD=60°，∴∠CBD=∠EBD=30°，∵CD=，∴BD=3，DE=，BE=6，∴AE=BE=2，∴AH=1，∴EH=，∴DH=，在Rt△DAH中，AD===．