题目内容
如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动，（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC；
（2）当P点移动到离B多远时，∠APC=90°？
分析：（1）设出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长；
（2）若∠APC=90°，根据平角的定义可得剩下的两个角之和为90°，又根据AB⊥BD，CD⊥BD，得到一对直角相等，在直角三角形ABP中可得一对锐角之和为90°，等量代换可得∠A=∠CPD，根据两对对应角相等的两三角形相似可得△ABP∽△PDC，由（1）推出的三角形相似时BP的长可得解．
（2）若∠APC=90°，根据平角的定义可得剩下的两个角之和为90°，又根据AB⊥BD，CD⊥BD，得到一对直角相等，在直角三角形ABP中可得一对锐角之和为90°，等量代换可得∠A=∠CPD，根据两对对应角相等的两三角形相似可得△ABP∽△PDC，由（1）推出的三角形相似时BP的长可得解．
解答：解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
设BP=xcm，则PD=（14-x）cm，
若△ABP∽△PDC，
∴
=
，即
=
，
变形得：14x-x2=24，即x2-14x+24=0，
因式分解得：（x-2）（x-12）=0，
解得：x1=2，x2=12，
∴BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，
=
，即
=
，解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC；
（2）若∠APC=90°，则∠APB+∠CPD=90°，
又AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
由（1）得此时BP=2cm或12cm，
则当BP=2cm或12cm时，∠APC=90°．
解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，设BP=xcm，则PD=（14-x）cm，
若△ABP∽△PDC，
∴
| AB |
| PD |
| BP |
| DC |
| 6 |
| 14-x |
| x |
| 4 |
变形得：14x-x2=24，即x2-14x+24=0，
因式分解得：（x-2）（x-12）=0，
解得：x1=2，x2=12，
∴BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，
| AB |
| CD |
| BP |
| DP |
| 6 |
| 4 |
| x |
| 14-x |
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC；
（2）若∠APC=90°，则∠APB+∠CPD=90°，
又AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
由（1）得此时BP=2cm或12cm，
则当BP=2cm或12cm时，∠APC=90°．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．
练习册系列答案
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已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明
如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．
如图，AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠EBC，则有
如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB．求证：AD∥BC．