题目内容
【题目】直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动.
(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出∠AEB的大小.
(2)如图2,已知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,点A、B在运动的过程中,∠CED的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.
(3)如图3,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F,在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数.
【答案】(1)∠AEB的大小不变135°;(2)∠CED的大小不变67.5°;(3)60°或45°.
【解析】
试题分析:(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,由三角形内角和定理即可得出结论;
(2)延长AD、BC交于点F,根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,进而得出∠OAB+∠OBA=90°,故∠PAB+∠MBA=270°,再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,可知∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,由三角形内角和定理可知∠F=45°,再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°,进而得出结论;
(3))由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,进而得出∠E的度数,由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论.
解:(1)∠AEB的大小不变,
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O,
∴∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=90°,
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,
∴∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,
∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=45°,
∴∠AEB=135°;
(2)∠CED的大小不变.
延长AD、BC交于点F.
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O,
∴∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠PAB+∠MBA=270°,
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,
∴∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,
∴∠BAD+∠ABC=(∠PAB+∠ABM)=135°,
∴∠F=45°,
∴∠FDC+∠FCD=135°,
∴∠CDA+∠DCB=225°,
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,
∴∠CDE+∠DCE=112.5°,
∴∠E=67.5°;
(3)∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,
∴∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=(∠BOQ﹣∠BAO)=∠ABO,
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线,
∴∠EAF=90°.
在△AEF中,
∵有一个角是另一个角的3倍,故有:
①∠EAF=3∠E,∠E=30°,∠ABO=60°;
②∠EAF=3∠F,∠E=60°,∠ABO=120°;
③∠F=3∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°;
④∠E=3∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°.
∴∠ABO为60°或45°.