题目内容

在直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点P在第一象限内的直线y=-x+4上．设点P的坐标为（x，y）．
（1）在所给直角坐标系（如图）中画出符合已知条件的图形，求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围；
（2）当S= $数学公式$ 时，求点P的位置；
（3）若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Q的坐标．

解：（1）如图；
S= $\text{[math]}$ OA•y
= $\text{[math]}$ ×3•y= $\text{[math]}$ y

= $\text{[math]}$ （-x+4）
=- $\text{[math]}$ x+6，
即S=- $\text{[math]}$ x+6，
自变量x的取值范围为：0＜x＜4；

（2）∵S=- $\text{[math]}$ x+6，当S= $\text{[math]}$ 时，得
- $\text{[math]}$ x+6= $\text{[math]}$ ，
解得x=1，y=-x+4=3，
∴点P的坐标为（1，3），
[或∵S= $\text{[math]}$ y，∴当S= $\text{[math]}$ 时，得 $\text{[math]}$ y= $\text{[math]}$ ，∴y=3，∴-x+4=3，得x=1，∴点P的坐标为（1，3）]；

（3）第四个顶点Q的坐标为：Q（x+3，y），
或Q（x-3，y），
或Q（3-x，-y）．
图示如下：其中Q（x+3，y）为图1；
Q（x-3，y）为图2与图3；
Q（3-x，-y）为图4与图5．

分析：（1）设出P点的坐标，利用三角形面积公式得到其面积S与其横坐标x之间的关系即可；
（2）将S的值代入解得x的值，然后代入一次函数的解析式求得y的值后即可得到P点的坐标；
（3）以这三点为三个顶点的平行四边形有4个，注意不要漏掉．
点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中很好的渗透了分类讨论的数学思想，是一道中等难度的考题．