题目内容
(2013•海门市一模)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/S的速度由点A沿AC方向在AC上移动,设移动时间为t(单位:s).
(1)当t为何值时,⊙P与AB相切;
(2)作PD⊥AC交AB于点D,如果⊙P和线段BC交于点E.求当t为何值时,四边形PDBE为平行四边形.
(1)当t为何值时,⊙P与AB相切;
(2)作PD⊥AC交AB于点D,如果⊙P和线段BC交于点E.求当t为何值时,四边形PDBE为平行四边形.
分析:(1)首先过P作PH⊥AB于H,由⊙P与AB相切,可得PH=1,易证得△APH∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,可得
=
,继而求得AP的长;即可得当t为何值时,⊙P与AB相切;
(2)由PD⊥AC,∠C=90°,可证得PD∥BC,继而可得当PE∥AB时,四边形PDBE为平行四边形,则可得△CPE∽△CAB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得CP的长,继而求得答案.
PH |
BC |
AP |
AB |
(2)由PD⊥AC,∠C=90°,可证得PD∥BC,继而可得当PE∥AB时,四边形PDBE为平行四边形,则可得△CPE∽△CAB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得CP的长,继而求得答案.
解答:解:(1)∵过P作PH⊥AB于H,
又∵⊙P与AB相切,
∴PH=1,
∴∠AHP=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△APH∽△ABC,…(2分)
∴
=
,
∵△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=
=5,
∴
=
,
∴AP=
,
∴当t=
时,⊙P与AB相切;…(5分)
(2)∵PD⊥AC,∠C=90°,
∴PD∥BE,
∴当PE∥AB时,四边形PDBE为平行四边形.
∴△CPE∽△CAB,
∴
=
,
∴
=
,
∴CP=
,
∴AP=AC-CP=
,
∴当t=
时,四边形PDBE为平行四边形.…(9分)
又∵⊙P与AB相切,
∴PH=1,
∴∠AHP=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△APH∽△ABC,…(2分)
∴
PH |
BC |
AP |
AB |
∵△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=
AC2+BC2 |
∴
1 |
3 |
AP |
5 |
∴AP=
5 |
3 |
∴当t=
5 |
3 |
(2)∵PD⊥AC,∠C=90°,
∴PD∥BE,
∴当PE∥AB时,四边形PDBE为平行四边形.
∴△CPE∽△CAB,
∴
PE |
AB |
CP |
CA |
∴
1 |
5 |
CP |
4 |
∴CP=
4 |
5 |
∴AP=AC-CP=
16 |
5 |
∴当t=
16 |
5 |
点评:此题考查了切线的性质、平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与方程思想的应用.
练习册系列答案
相关题目