Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OA．设OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=

1

2

，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；

解答：解：（1）连接OA．设OP与AB的交点为F．
∵⊙O的半径为1（已知），
∴OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=

1

2

OP=

1

2

，AF=BF（垂径定理），
在Rt△OAF中，AF=

OA2-OF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

（勾股定理），
∴AB=2AF=

3

．

（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵OB=1，OF=

1

2

，OF⊥AB，
∴∠FBO=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴∠FOB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=∠AOB=120°．
又⊙D是△ABC的内切圆，
∴∠DAB=

1

2

∠CAB，∠DBA=

1

2

∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=

1

2

（∠CAB+∠CBA）=180°-∠ADB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB的度数为60°（三角形内角和定理）．

点评：考查了圆的综合题．本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．