Question

如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH分别交平行四边形ABCD四边于E、G、F、H，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

分析：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由已知条件证明OH=OG，同理OE=OF，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为EF⊥GH，所以四边形EGFH是菱形．

解答：证明：如图，顺次连接点E、G、F、H．
在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，AD∥CB，
∴∠OBG=∠HDO．
∴在△OBG与△ODE中，

∠OBG=∠ODH OB=OD ∠BOG=∠DOH

，
∴△OBG≌△ODE（ASA），
∴OH=OG．
同理OE=OF，
∴四边形EFH是平行四边形，
又∵EF⊥HG，
∴平行四边形EGFH是菱形．

点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用平行四边形的判定．