Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为

1

2

．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=

k

x

的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=

k

x

的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=

k

x

，可求出k的值；
（2）根据反比例函数得性质求解；
（3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，

1

a

），根据勾股定理得到OP=

a2+( 1 a )2

=

(a- 1 a )2+2

，从而得到OP最小值为

2

，于是可得到线段PQ长度的最小值．

解答：解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB=

1

2

•OB•AB=

1

2

×2×m=

1

2

，
∴m=

1

2

；
∴点A的坐标为（2，

1

2

），
把A（2，

1

2

）代入y=

k

x

，得

1

2

=

k

2

∴k=1；
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=

1

3

，
又∵反比例函数y=

1

x

，在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为

1

3

≤y≤1；
（3）由图象可得：P，Q关于原点对称，
∴PQ=2OP，
反比例函数解析式为y=

1

x

，设P（a，

1

a

），
∴OP=

a2+( 1 a )2

=

(a- 1 a )2+2

，
∴OP最小值为

2

，
∴线段PQ长度的最小值为2

2

．

点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形能力．