Question

（2013•台州）如图1，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）²+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）²+2-h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m．
 ①交点C的纵坐标可以表示为：

（m-1）²+1

或

（m-h）²-h+2

，由此进一步探究m关于h的函数关系式；
 ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式验证即可；
（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可．

解答：解：（1）当x=0时候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入y=（x-1）²+k，得1+k=2
∴k=1，
∴y=（x-1）²+1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴当x=h时，y=-x+2=-h+2=2-h
∴点D在直线l上；

（2）①（m-1）²+1或（m-h）²-h+2
由题意得（m-1）²+1=（m-h）²-h+2，
整理得2mh-2m=h²-h
∵h＞1
∴m=

h2-h

2h-2

=

h

2

．
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴

AE

EC

=

CF

DF

又∵C（m，m²-2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m²-2m，DF=m²，CE=CF=m
∴

m2-2m

m

=

m

m2

∴m²-2m=1
解得：m=±

2

+1
∵h＞1
∴m=

h

2

＞

1

2

∴m=

2

+1

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的用点的坐标表示有关线段的长更是解决本题的关键，在中考中出现的频率很高．