题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4，4)，点B的坐标为(2，0)．
(1)求线段AB的长；
(2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；
(3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OCOD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)．
【答案】（1）
；（2）
；（3）不变，
【解析】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可；
（3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8．
（1）作AE⊥x轴于点E
∵点A(4，4)，点B(0，2)，．
∴AE=4， BE=6．
∴线段AB
(2)∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，
①当∠BAM=90°时，如图1，
过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M2，
设M1（x，0），
AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，
BM12=(2+x)2=x2+4x+4，
AB2=52
∵AM12+AB2 =BM12
∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，
得：x=-20，
∴M1（-20，0）
设M2（0，y）
AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32， BM22=22+y2 =y2+4， AB2=52
∵AM22+AB2 =BM22
∴y2-8y+32+52=y2+4
得：y=10，
∴M2（0，10）
②当∠ABM=90°时，如图2，
过B作AB的垂线，交y轴于点M3，
设M3（0，y）
AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，
BM32=22+y2 =y2+4，
AB2=52
∵BM32+AB2 =AM32
∴y2+4+52=y2-8y+32
得：y=-3，
∴M3（0，-3）
综上可知点M的坐标为M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3）
(3)不变．OCOD=8．
理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．
则∠AGC=∠AHD=90°，
又∵∠HOC=90°，
∴∠GAH=90°，
∴∠DAG+∠DAH=90°，
∵∠CAD=90°，
∴∠CAG=∠DAH．
∵A(4，4)，
∴OG=AH=AG=OH=4．
在△AGC和△AHD中
∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH
∴△AGC≌△AHD(ASA)，
∴GC=HD．
∴OCOD=(OG+GC)(HDOH)=OG+OH=8．
故OCOD的值不发生变化，值为8
