Question

如图1,若△ABC和△ADE为等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分别EB,CD的中点．

（1）易证：①CD="BE" ；②△AMN是            三角形；
（2）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,

①求证：CD=BE；
②判断△AMN的形状,并证明你的结论；
（3）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,（2）中的结论是否成立？直接写出即可,不要求证明；并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比．

Answer 1

（1）等腰直角 ；（2）证明见解析；（3）（2）中的结论成立,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为：4：16:5.

试题分析：（1）根据已知条件易得△AMN等腰直角三角形；
（2）①用SAS证明△DAC≌△EAB,易得结论；②由于△DAC≌△EAB可以推出△DAM≌△EAN,得到CD=BE,再找角之间的关系易得结论；
（3）（2）中结论成立,令AD=a,求出△ADE与△ABC及△AMN的面积,再求出比值.

试题解析：（1）等腰直角
（2）①∵∠DAE=∠CAB=90°
∴∠DAC=∠EAB
又∵ AD=AE   AC=AB
∴△DAC≌△EAB    
∴ CD=BE；       
②△AMN是等腰直角三角形
∵△DAC≌△EAB
∴∠CDA=∠BEA
∵ CD=BE 
∴ DM=EN
又∵ AD=AE
∴△DAM≌△EAN
∴ AM=AN,∠DAM =∠EAN
∵∠DAM+∠MAE=90°
∴∠EAN+∠MAE=90°
∴∠MAN=90°
∴△AMN是等腰直角三角形；
(3)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,（2）中的结论成立(或CD=BE,△AMN是等腰直角三角形)
设AD="a," 那么AC="2a" （a≠0）
CD= a,AM=
△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为：：：=4：16:5．