题目内容

如图，AC⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A、B，点E在线段AB上，且BE=AC，CE=DE．
（1）求证：△CAE≌△EBD；
（2）已知AC=4，CD=10，求CE和BD的长．

（1）证明：∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°．
在Rt△CAE和Rt△EBD中
BE=AC，CE=DE，
∴△CAE≌△EBD．

（2）解：在Rt△CED中
∵CE=DE，CD=10，
∴CE=DE=5 $\text{[math]}$ ．
在Rt△CAE中
∵AC=4，CE=5 $\text{[math]}$ ，
∴AE= $\text{[math]}$ ．
∵△CAE≌△EBD，
∴BD=AE= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为AC⊥AB，DB⊥AB，所以∠A=∠B=90°，在Rt△CAE和Rt△EBD中，BE=AC，CE=DE，故可根据HL判定两三角形全等；
（2）在Rt△CED中，因为CE=DE，CD=10，所以CE=DE=5 $\text{[math]}$ ，在Rt△CAE中，因为AC=4，CE=5 $\text{[math]}$ ，所以AE= $\text{[math]}$ ，又因为△CAE≌△EBD，所以BD=AE= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形的判定和全等三角形的性质综合求解．有利于培养学生综合运用数学知识的能力．