题目内容
如图,等腰Rt△ABC中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边△ABD使点C、D在AB的同侧,再以CD为一边作等边△CDE,使点C、E在AD的异侧,若AE=1,求CD的长.
考点:全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形
专题:
分析:延长DC交AB于点F,先证明△ACD≌△BCD,在由条件证明△ACD≌△AED就可以得出AC=AE=1,由勾股定理求出AB的值,就可以求出CF和DF的值,从而得出结论.
解答:解:延长DC交AB于点F,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵△ADB是等边三角形,
∴AD=AB=BD,∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°,
∴∠DAC=∠DBC=15°.
在△ACD和△BCD中,
,
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴∠ADC=∠BDC=30°.
∴DF⊥AB,
∴CF=
AB.
∵△EDC是等边三角形,
∴ED=CD,∠EDC=60°.
∴∠ACD=∠ADE=30°.
在△ACD和△AED中,
∴△ACD≌△AED(SAS),
∴AE=AC=1.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB=
,
∴CF=AF=
,
在Rt△AFD中,由勾股定理,得
DF=
,
∴CD=
.
答:CD的长为
.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵△ADB是等边三角形,
∴AD=AB=BD,∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°,
∴∠DAC=∠DBC=15°.
在△ACD和△BCD中,
|
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴∠ADC=∠BDC=30°.
∴DF⊥AB,
∴CF=
1 |
2 |
∵△EDC是等边三角形,
∴ED=CD,∠EDC=60°.
∴∠ACD=∠ADE=30°.
在△ACD和△AED中,
|
∴△ACD≌△AED(SAS),
∴AE=AC=1.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB=
2 |
∴CF=AF=
| ||
2 |
在Rt△AFD中,由勾股定理,得
DF=
| ||
2 |
∴CD=
| ||||
2 |
答:CD的长为
| ||||
2 |
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,解答时证明三角形全等是关键.
练习册系列答案
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一男生推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=-
x2-
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12 |
2 |
3 |
5 |
3 |
A、-2m | B、2m |
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