题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90,BD是△ABC的角平分线,点O在BD上,分别过点O作OE⊥BC,OF⊥AC,垂足为E,F,且OE=OF.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)OE=2.
【解析】试题分析:(1)过点O作OM⊥AB,由角平分线的性质得OE=OM,由正方形的性质得OE=OF,易得OM=OF,由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;
(2)连接OC,根利用勾股定理求出AB的长,据三角形的面积公式即可得出结论.
试题解析:(1)证明:过点O作OM⊥AB于点M.
因为BD平分∠ABC,OM⊥AB于M,OE⊥BC于E,所以OM=OE.
又OE=OF,所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.
(2)连接OC.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,根据勾股定理,得AB=13.
因为S△ABO+S△BCO+S△ACO =S△ABC,所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.
由(1)知OM=OE=OF,所以15OE=30,解得OE=2.